Question

8．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，直线l：4x-5y+16=0，椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最大？

Answer 1

分析 求出椭圆的参数方程，设出点P（5cosα，3sinα），运用点到直线的距离公式，结合辅助角公式和余弦函数的值域，即可求得最大值及对应的点P的坐标．

解答 解：由于椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$（0≤α＜2π），
设椭圆上点P（5cosα，3sinα），
则P到直线l：4x-5y+16=0的距离为d=$\frac{|20cosα-15sinα+16|}{\sqrt{16+25}}$=$\frac{|25cos（α+θ）+16|}{\sqrt{41}}$（θ为辅助角）
则当cos（α+θ）=1时，即P（4，-3）时，d取得最大值$\sqrt{41}$．
故椭圆上存在一点P（4，-3），它到直线l的距离最大．

点评 本题考查椭圆上的点到直线的距离的最大值，注意运用椭圆的参数方程，结合辅助角公式和余弦函数的值域，属于中档题．