Question

已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f （y²-6y+11）+f （x²-8x+10）≤0，则当y≥3时，函数F（x，y）=

x2+y2+2x+1

的最小值和最大值分别为（　　）

• A．3

  2

  ，2+

  34

• B．3

  2

  ，

  34

• C．

  13

  ，2+

  34

• D．3

  2

  ，7

Answer 1

分析：先确定函数为奇函数、增函数，从而可得（x-4）²+（y-3）²≤4表示圆心在（4，3）半径为2的圆面，再利用目标函数的几何意义，即可得到结论．

解答：解：∵f（x）=x+sinx，∴f（-x）=-x-sinx=-f（x），∴函数f（x）为奇函数，
∵f （y²-6y+11）+f （x²-8x+10）≤0，∴f（y²-6y+11）≤f（-x²+8x-10），
又f′（x）=1+cosx≥0，∴函数f（x）为增函数，
∴y²-6y+11≤-x²+8x-10 即（x-4）²+（y-3）²≤4表示圆心在（4，3）半径为2的圆面．
当y≥3时，F（x，y）=

(x+1)2+y2

的最大值为2+

34

，最小值是圆上的点（2，3）到点（-1，0）的距离，即3

2

．
故选A．

点评：本题考查函数的单调性与奇偶性的结合，考查距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．