Question

2．已知f（x）是R上最小正周期为2的奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）=x-x²，则满足f（log₂x）＞0的实数x的取值集合为（　　）

• A． {x|2^2k-1＜x＜2^2k，k∈Z}
• B． {x|2^2k＜x＜2^2k+1，k∈Z}
• C． {x|2^2k-1＜x＜2^2k+1，k∈Z}
• D． {x|2^2k＜x＜2^2k+2，k∈Z}

Answer 1

分析 根据已知中f（x）是R上最小正周期为2的奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）=x-x²，可得f（x）＞0时，2k-1＜x＜2k，k∈Z，结合对数函数的图象和性质，可得实数x的取值范围．

解答 解：∵当0≤x≤1时，f（x）=x-x²，
令f（x）＞0，则0＜x＜1，
又由f（x）是最小正周期为2的周期函数，
故f（x）＞0时，2k＜x＜2k+1，k∈Z，
则f（log₂x）＞0时，2k＜log₂x＜2k+1，k∈Z，
则2^2k＜x＜2^2k+1，k∈Z，
故满足f（log₂x）＞0的实数x的取值集合为{x|2^2k＜x＜2^2k+1，k∈Z}，
故选：B．

点评 本题考查的知识点是函数的周期性，函数的奇偶性，对数函数的图象和性质，难度中档．