题目内容
设函数f(x)=p(x-
)-2lnx，g(x)=
，x∈[2，e]，若p＞1，且对任意x1∈[2，e]，存在x2∈[2，e]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，则p的取值范围为（ ）
| 1 |
| x |
| 2e |
| x |
分析：若对任意x1∈[2，e]，存在x2∈[2，e]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，即当x∈[2，e]，函数f（x）的最小值大于g（x）的最小值，分别求出两个函数的最小值，可得p的取值范围．
解答：解：∵函数f(x)=p(x-
)-2lnx，
∴f′(x)=p(1+
)-
=
∵p＞1，故当x∈[2，e]时，f′（x）＞0恒成立
故当x=2时，函数f（x）取最小值
p-2ln2
∵g(x)=
，当x∈[2，e]时，函数为减函数，故当x=e时，g（x）取最小值2
若对任意x1∈[2，e]，存在x2∈[2，e]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，
即当x∈[2，e]，函数f（x）的最小值大于g（x）的最小值
即
p-2ln2＞2，解得p＞
故p的取值范围为(
，+∞)
故选C
| 1 |
| x |
∴f′(x)=p(1+
| 1 |
| x2 |
| 2 |
| x |
| px2-2x+p |
| x2 |
∵p＞1，故当x∈[2，e]时，f′（x）＞0恒成立
故当x=2时，函数f（x）取最小值
| 3 |
| 2 |
∵g(x)=
| 2e |
| x |
若对任意x1∈[2，e]，存在x2∈[2，e]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，
即当x∈[2，e]，函数f（x）的最小值大于g（x）的最小值
即
| 3 |
| 2 |
| 4+4ln2 |
| 3 |
故p的取值范围为(
| 4+4ln2 |
| 3 |
故选C
点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，其中将已知转化为当x∈[2，e]，函数f（x）的最小值大于g（x）的最小值，是解答的关键．
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