Question

设函数f(x)=p(x-

1

x

)-2lnx，g(x)=

2e

x

（p是实数，e是自然对数的底数）
（1）若函数f（x）在定义域内不单调，求实数p的取值范围；
（2）若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f（x₀）＞g（x₀），求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，令导函数等于0，在（0，+∞）上有解，分离出p，利用基本不等式求出p的范围，检验p=1是否满足题意．
（2）将问题转化为f（x）＞g（x）在[1，e]上有解，分离出p，构造函数h（x），利用导数求出h（x）的最小值，令p＞h（x）的最小值即得p的范围．

解答：解：（1）f′(x)=

px2-2x+p

x2

，
有条件得，f'（x）=0在（0，+∞）上有解
即p=

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

在（0，+∞）上有解，∵x＞0，∴x+

1

x

≥2，∴0＜p≤1
若当p=1时，f′(x)=(

1

x

-1)2≥0，不符条件，所以0＜p＜1
（2）有题意得：f（x）＞g（x）在[1，e]上有解
即f(x)-g(x)=p(x-

1

x

)-2lnx-

2e

x

＞0在[1，e]上有解
即p＞

2e x +2lnx

x- 1 x

在[1，e]上有解
记h(x)=

2e x +2lnx

x- 1 x

，只需p＞h（x）_min∵(

2e

x

+2lnx)′=

2x-2e

x2

＜0，所以

2e

x

+2lnx在[1，e]是减函数x-

1

x

在[1，e]是增函数
所以h（x）在[1，e]是减函数p＞h(x)min=

4e

e2-1

点评：解决方程有解问题转化为求函数的值域；解决不等式有解问题，转化为求函数的最值．