Question

12．函数y=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x-$\frac{1}{2}$在[0，$\frac{π}{2}$]的值域是[$-\frac{1}{2}$，1]．

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得y=sin（2x+$\frac{π}{6}$），由x的范围和三角函数的值域可得．

解答 解：由三角函数公式化简可得y=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$（2cos²x-1）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]
故答案为：[$-\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题考查三角函数公式，涉及三角函数的值域，属基础题．