Question

7．已知函数f（x）=x²+（b-$\sqrt{4-{a}^{2}}$）x+2a-b是偶函数，则函数图象与y轴交点的最大值为4．

Answer 1

分析 根据二次函数是偶函数的等价条件，即一次项的系数为零，求出a与b的关系式，令x=0求出图象与y轴交点的纵坐标，再整理成关于a的一个函数，由解析式求出定义域，根据它的单调性求出最大值．

解答 解：∵函数f（x）=x²+（b-$\sqrt{4-{a}^{2}}$）x+2a-b是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即x²+（b-$\sqrt{4-{a}^{2}}$）x+2a-bx²-（b-$\sqrt{4-{a}^{2}}$）x+2a-b，
即b-$\sqrt{4-{a}^{2}}$=0，
即b=$\sqrt{4-{a}^{2}}$，a∈[-2，2]，
由函数f（x）=x²+（b-$\sqrt{4-{a}^{2}}$）x+2a-b图象与y轴交点的坐标为2a-b=2a-$\sqrt{4-{a}^{2}}$，
∵y=2a-$\sqrt{4-{a}^{2}}$在[0，2]上是增函数，在[-2，0]上是减函数，
∴当a=2时，y有最大值为4．
故答案为：4．

点评 本题是有关函数性质的综合题，考查了二次函数是偶函数的等价条件，复合函数的单调性问题，以及求函数的最值，难度较大．