题目内容

设函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的最小正周期为π，并且当x=
π
12
时，有最大值f（
π
12
）=4．
（1）求a、b、ω的值；
（2）若角α、β的终边不共线，f（α）=f（β）=0，求tan（α+β）的值．
分析：（1）函数f（x）=asinωx+bcosωx可以变为f（x）=
a2+b2
sin（ωx+∅），最小正周期为π求得ω=2，再由最大值f（
π
12
）=4得到
a2+b2
=4
a
2
+
3
2
b=4
从中解出a，b的值．
（2）由已知f（α）=f（β）=0得4sin（2α+
π
3
）=4sin（2β+
π
3
）=0即得sin（2α+
π
3
）-sin（2β+
π
3
）=0，从中解出α+β的三角函数值．
解答：解：（1）由
2 π
ω
=π，ω＞0得ω=2．
∴f（x）=asin2x+bcos2x．
由x=
π
12
时，f（x）的最大值为4，
得
a2+b2
=4
a
2
+
3
2
b=4
?
a=2
b=2
3
.


（2）由（1）得f（x）=4sin（2x+
π
3
）．
依题意有4sin（2α+
π
3
）=4sin（2β+
π
3
）=0．
∴sin（2α+
π
3
）-sin（2β+
π
3
）=0．
∴cos（α+β+
π
3
）sin（α-β）=0（和差化积公式见课本）．
∵α、β的终边不共线，即α-β≠kπ（k∈Z），
故sin（α-β）≠0．
∴α+β=kπ+
π
6
（k∈Z）．
∴tan（α+β）=
3
3
．
点评：本题考点由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，此是近几年高考中对三角函数的图象与性质考查的一种较热的题型，注意把握其解题规律，在题（2）中由三角函数的恒等变换求出α+β的三角函数值，三角恒等变换公式较多，解法不唯一，做题时要注意选择合适的公式组合．
练习册系列答案
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设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足f（an+1）=
1f(-2-an)
（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．
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1
f(-2-an)
(n∈N*)．
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(1+logf(1)x)对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．
设函数f（x）=
3x-1
x+1
．
（1）已知s=-t+
1
2
（t＞1），求证：f（
t-1
t
）=
s+1
s
；
（2）证明：存在函数t=φ（s）=as+b（s＞0），满足f（
s+1
s
）=
t-1
t
；
（3）设x1=
11
17
，xn+1=f（xn），n=1，2，…．问：数列{
1
xn-1
}是否为等差数列？若是，求出数列{xn}中最大项的值；若不是，请说明理由．
设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足f（an+1）=（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．
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（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．

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