Question

已知向量

m

=（2cosx，2sinx），

n

=（cosx，

3

cosx），设f（x）=

m

•

n

-1．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(

C

2

)=2，且acosB=bcosA，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（I）由于函数f（x）=

m

•

n

-1=2sin（2x+

π

6

），令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．
（Ⅱ）在△ABC中，由于f(

C

2

)=2，求得sin（C+

π

6

）=1，C=

π

3

．再由 acosB=bcosA，利用正弦定理可得sin（A-B）=0，A-B=0，故 A=B=C=

π

3

，由此可得△ABC的形状．

解答：解：（I）由于函数f（x）=

m

•

n

-1=2cos²x+2

3

sinxcosx-1=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

），
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈z．
故函数的增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

2π

3

]，k∈z．
（Ⅱ）在△ABC中，由于f(

C

2

)=2=2sin（C+

π

6

），∴sin（C+

π

6

）=1，∴C=

π

3

．
再由 acosB=bcosA，利用正弦定理可得 ainAcosB=sinBcosA，∴sin（A-B）=0．
再由-π＜A-B＜π，可得 A-B=0，故 A=B=C=

π

3

，
故△ABC为等边三角形．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性、正弦定理的应用，属于中档题．