Question

已知向量m=（2cosx，2sinx），n=（cosx，

3

cosx），设f（x）=m•n-1．
（I）求f(

π

6

)的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）利用平面向量的数量积运算法则化简f（x）解析式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个叫角的正弦函数，将x=

π

6

代入即可求出f（

π

6

）的值；
（Ⅱ）找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；根据正弦函数的递增区间求出x的范围，即为函数f（x）的递增区间．

解答：解：（I）f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx-1=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

），
∴f（

π

6

）=2sin（2×

π

6

+

π

6

）=2sin

π

2

=2；
（Ⅱ）∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
∵2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
则函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算，二倍角的余弦函数公式，正弦函数的单调性，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．