Question

在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线

x2

m

+

y2

n

=1的焦点，顶点C在该曲线上．一同学已正确地推得：当m＞n＞0时，有e•（sinA+sinB）=sinC．类似地，当m＞0、n＜0时，有e•（

|sinA-sinB|

）=sinC．

Answer 1

分析：设△ABC中角A，角B，角C所对的边长分别为a，b，c．m＞0＞n时，曲线是双曲线，离心率e=

c

2 m

，由双曲线定义知e|b-a|=c，由正弦定理，得e|sinA-sinB|=sinC．

解答：解：设△ABC中角A，角B，角C所对的边长分别为a，b，c．
∵△ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线

x2

m

+

y2

n

=1的焦点，顶点C在该曲线上，
∴m＞0＞n时，曲线是双曲线，离心率e=

c

2 m

，
由双曲线定义|b-a|=2

m

，
∴e|b-a|=c，
由正弦定理，得e|sinA-sinB|=sinC．
故答案为：|sinA-sinB|．

点评：本题考查双曲线的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．