Question

13．已知梯形ABCD中，BC=6，$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{0}$，点P为平面ABCD上的点，且$\frac{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}{4}$=$\overrightarrow{DP}$，$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{CB}$=|$\overrightarrow{DA}$|•|$\overrightarrow{DP}$|，则点P到直线AD的距离为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 如图所示，在梯形ABCD中，由$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{0}$，可得AB=2CD，AB∥CD．取AB的中点F，连接DF，可得DF=BC=6，DF∥BC．连接PF并延长，使得PF=FE，则$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PE}=2\overrightarrow{PF}$．连接DP，由于$\frac{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}{4}$=$\overrightarrow{DP}$，可得$\frac{1}{4}\overrightarrow{PE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{PF}$=$\overrightarrow{DP}$，P，D，E，F四点在同一条直线上．设PD=a，则PE=4a，PF=2a，BC=DF=PD+PF=3a．利用数量积运算性质可得：，$|\overrightarrow{DF}|$cos∠ADF=|$\overrightarrow{DP}$|，过F作FG⊥AD，垂足为G，在Rt△DFG中，可得FG．过P作PH⊥AD，垂足为H，在△DFG中∽△DPH．即可得出PH．

解答 解：如图所示，
在梯形ABCD中，∵$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{0}$，∴AB=2CD，AB∥CD．
取AB的中点F，连接DF，则四边形BCDF是平行四边形，∴DF=BC=6，DF∥BC．
连接PF并延长，使得PF=FE，则$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PE}=2\overrightarrow{PF}$．
连接DP，∵$\frac{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}{4}$=$\overrightarrow{DP}$，
∴$\frac{1}{4}\overrightarrow{PE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{PF}$=$\overrightarrow{DP}$，∴P，D，E，F四点在同一条直线上．
设PD=a，则PE=4a，PF=2a，BC=DF=PD+PF=3a．
∵$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DF}$=$|\overrightarrow{DA}|$•$|\overrightarrow{DF}|$cos∠ADF=|$\overrightarrow{DA}$|•|$\overrightarrow{DP}$|，
∴$|\overrightarrow{DF}|$cos∠ADF=|$\overrightarrow{DP}$|，
过F作FG⊥AD，垂足为G，在Rt△DFG中，FG=$\sqrt{（3a）^{2}-{a}^{2}}$=2$\sqrt{2}$a；
过P作PH⊥AD，垂足为H，在△DFG中∽△DPH．
∴$\frac{DF}{DP}=\frac{FG}{PH}$，∴PH=$\frac{2\sqrt{2}}{3}a$．
即点P到直线AD的距离为$\frac{2\sqrt{2}}{3}a$．
3a=6，解得a=2．
故答案为：$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质、三角形相似，考查了作图能力、推理能力与计算能力，属于难题．