题目内容
3.设实数a>1,b>1.则“a<b”是“lna-lnb>a-b”成立的充要条件.(请用“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分也不必要”中之一填空.)充要.分析 可设f(x)=lnx-x,x>1,通过求导数,便可判断该函数在(1,+∞)上单调递减,而由lna-lnb>a-b得到lna-a>lnb-b,即f(a)>f(b),从而得出“a<b”等价于“lna-lnb>a-b”,从而得出答案为充要条件.
解答 解:设f(x)=lnx-x,x>1,则$f′(x)=\frac{1-x}{x}<0$;
∴f(x)在(1,+∞)上单调递减;
∴a<b?f(a)>f(b);
即a<b?lna-a>lnb-b;
∴a<b?lna-lnb>a-b;
∴“a<b”是“lna-lnb>a-b”的充要条件.
故答案为:充要.
点评 考查构造函数解决问题的方法,根据导数符号判断函数单调性的方法,减函数定义的运用,等价关系及充要条件的概念.
练习册系列答案
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A. | (-∞,0]∪[1,+∞) | B. | (0,1) | C. | [0,1] | D. | (-∞,0)∪(1,+∞) |
18.某工厂的生产总值月均增长率为p,则年增长率为( )
A. | p | B. | 12p | C. | $\frac{{(1+p)}^{12}-12p-1}{12p}$ | D. | (1+p)12-1 |
8.某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:用最小二乘法求线性回归方程系数公式 $\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$,$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$.
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(2)利用(1)中的回归方程,预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:用最小二乘法求线性回归方程系数公式 $\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$,$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$.
15.已知复数Z=(1+i)(2+i607)的实部是m,虚部是n,则mn=( )
A. | 3 | B. | -3 | C. | 3i | D. | -3i |