Question

对于每一个实数x，设函数f（x）是y=4x+1，y=x+2，y=-2x+4三个函数中的最小值，则f（x）的最大值是

 

．

Answer 1

分析：先求出每2条直线的交点坐标，利用函数f（x）是y=4x+1，y=x+2，y=-2x+4三个函数中的最小值，写出f（x）的解析式，结合f（x）的图象求出f（x）的最大值．

解答：解：由y=4x+1和y=x+2联立方程组，解得两直线的交点（

1

3

，

7

3

），
由 y=x+2和y=-2x+4联立方程组，解得两直线的交点（

2

3

，

8

3

），
 由y=4x+1和 y=-2x+4联立方程组，解得两直线的交点（

1

2

 3），
∵函数f（x）是y=4x+1，y=x+2，y=-2x+4三个函数中的最小值，
∴f（x）=

4x+1    (x＜ 1 3 ) x+2   ( 1 3 ≤x≤  2 3 ) -2x+4   (x＞ 2 3 )

，
∴x=

2

3

时，f（x）有最大值是

8

3

，
故答案为 

8

3

．

点评：本题考查函数最值及其几何意义，体现分类讨论的数学思想．