Question

【题目】已知圆经过点与直线相切，圆心的轨迹为曲线，过点做直线与曲线交于不同两点，三角形的垂心为点.

（1）求曲线的方程；

（2）求证：点在一条定直线上，并求出这条直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据抛物线的定义，得到圆心表示以为焦点，以为准线的抛物线，即可求得圆心的轨迹方程；

（2）设，由三点共线，求得的值，再求得过点与直线垂直和点与直线垂直的直线方程，联立方程组，求得，即可得到结论.

（1）圆经过点与直线相切，

则圆心满足到点与到直线的距离相等，

根据抛物线的定义，可得圆心表示以为焦点，以为准线的抛物线，

其中，所以圆心的轨迹方程为.

（2）设，，

由三点共线，则，整理得，

过点与直线垂直的直线为，

同理过点与直线垂直的直线为，

两条垂线联立方程组 ，解得，

所以垂心在直线.