题目内容
设定义在R上函数f（x）的图象与函数g（x）=a（x-2）+2（2-x）3（a为常数）的图象关于直线x=1对称．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；?
（Ⅱ）设F(x)=(
+4lnx)′，当m＞0时，判断F（m3）与F（m2）的大小关系，并说明理由．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；?
（Ⅱ）设F(x)=(
| f(x) | x |
分析：（I）由题意可得f（x）=g（2-x）即可；
（II）由（I）可得F（x），利用导数的运算法则可得F′（x），进而得到单调性．比较m3与m2的大小，再利用单调性即可得出F（m3）与F（m2）的大小关系．
（II）由（I）可得F（x），利用导数的运算法则可得F′（x），进而得到单调性．比较m3与m2的大小，再利用单调性即可得出F（m3）与F（m2）的大小关系．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）与 g（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（x）=g（2-x），
∴f（x）=g（2-x）=-ax+2x3．
（Ⅱ） F(x)=(
+4lnx)′=4x+
=4(x+
)，
∴F′(x)=4(1-
)，∴x∈（0，1）时，F（x）单调递减；x∈（1，+∞），F（x）单调递增．
当0＜m＜1，0＜m3＜m2＜1，∴F（m3）＞F（m2），
当m=1，F（m3）=F（m2），
当m＞1，m3＞m2＞1
∴F（m3）≥F（m2）．
∴f（x）=g（2-x），
∴f（x）=g（2-x）=-ax+2x3．
（Ⅱ） F(x)=(
| f(x) |
| x |
| 4 |
| x |
| 1 |
| x |
∴F′(x)=4(1-
| 1 |
| x2 |
当0＜m＜1，0＜m3＜m2＜1，∴F（m3）＞F（m2），
当m=1，F（m3）=F（m2），
当m＞1，m3＞m2＞1
∴F（m3）≥F（m2）．
点评：熟练掌握轴对称、利用导数研究函数的单调性、作差法比较两个数的大小等是解题的关键．
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