Question

已知α为三角形内角，且tan（α-π）=2
（1）求值：

sinα+cosα

sinα-cosα

（2）锐角β满足sin(α-β)=

10

10

，求cosβ的值．

Answer 1

分析：（1）把已知条件利用诱导公式化简得到tanα的值，给分子分母都除以cosα化切得到关于tanα的关系式，将tanα的值代入即可求出值；
（2）根据α和β的范围及sin（α-β）的值大于0，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α-β）的值，即可求出tan（α-β）的值，利用两角差的正切函数公式及tanα的值求出tanβ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosβ的值即可．

解答：解：由已知得tan（α-π）=-tan（π-α）=tanα=2
（1）则

sinα+cosα

sinα-cosα

=

tanα+1

tanα-1

=

2+1

2-1

=3；
（2）因为α∈（0，π），且β∈（0，

π

2

），sin(α-β)=

10

10

＞0，
所以cos（α-β）=

1-( 10 10 )2

=

3 10

10

，
则tan（α-β）=

1

3

，即

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

2-tanβ

1+2tanβ

=

1

3

，
tanβ=1，则cosβ=

cos2β

=

1 sec2β

=

1 1+tan2β

=

2

2

点评：此题考查学生灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．