题目内容
第26届世界大学生夏季运动会2011年8月12日至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在深圳大学数学学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm），这30名志愿者的身高如下：
若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
（注：茎叶图：将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少．如157cm，茎是15，叶是7）
若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
（注：茎叶图：将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少．如157cm，茎是15，叶是7）
分析：（1）由题意及茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，利用用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530=16，利用对立事件即可；
（2）由于从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，利用离散型随机变量的定义及题意可知ξ的取值为0，1，2，3在利用古典概型的概率公式求出每一个值对应事件的概率，有期望的公式求出即可．
（2）由于从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，利用离散型随机变量的定义及题意可知ξ的取值为0，1，2，3在利用古典概型的概率公式求出每一个值对应事件的概率，有期望的公式求出即可．
解答：解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
=
，
所以选中的“高个子”有12×
=2人，“非高个子”有18×
=3人．
用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”，
则它的对立事件A?表示“没有一名“高个子”被选中”，
则P（A）=1-
=1-
=
．
因此，至少有一人是“高个子”的概率是
．
（2）依题意，ξ的取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=
=
，
P（ξ=1）=
=
，
P（ξ=2）=
=
，
P（ξ=3）=
=
．
因此，ξ的分布列如下：
∴Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=1．
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
| 5 |
| 30 |
| 1 |
| 6 |
所以选中的“高个子”有12×
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 6 |
用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”，
则它的对立事件A?表示“没有一名“高个子”被选中”，
则P（A）=1-
| ||
|
| 3 |
| 10 |
| 7 |
| 10 |
因此，至少有一人是“高个子”的概率是
| 7 |
| 10 |
（2）依题意，ξ的取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=
| ||
|
| 14 |
| 55 |
P（ξ=1）=
| ||||
|
| 28 |
| 55 |
P（ξ=2）=
| ||||
|
| 12 |
| 55 |
P（ξ=3）=
| ||
|
| 1 |
| 55 |
因此，ξ的分布列如下：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 14 |
| 55 |
| 28 |
| 55 |
| 12 |
| 55 |
| 1 |
| 55 |
点评：本题主要考查茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的数据处理能力和应用意识．
练习册系列答案
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人，成绩只有
、
、
三种分值，设
分别表示项目A与项目B成绩．例如：表中项目A成绩为
且
的概率是
．
名礼仪小姐，则
的礼仪小姐中应抽多少人？
，
，项目B为3分的礼仪小姐中，求项目A得3分的人数比得4分人数多的概率．