题目内容
（2012•湖南模拟）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（Ⅰ）请分析函数y=
+2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；
（Ⅱ）若该公司采用函数模型y=
作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．
（Ⅰ）请分析函数y=
| x |
| 150 |
（Ⅱ）若该公司采用函数模型y=
| 10x-3a |
| x+2 |
分析：（Ⅰ）设奖励函数模型为y=f（x），根据“奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，说明在定义域上是增函数，且奖金不超过9万元，即f（x）≤9，同时奖金不超过投资收益的20%．即f（x）≤
．
（Ⅱ）先将函数解析式进行化简，然后根据函数的单调性，以及使g（x）≤9对x∈[10，1000]恒成立以及使g（x）≤
对x∈[10，1000]恒成立，建立不等式，求出相应的a的取值范围．
| x |
| 5 |
（Ⅱ）先将函数解析式进行化简，然后根据函数的单调性，以及使g（x）≤9对x∈[10，1000]恒成立以及使g（x）≤
| x |
| 5 |
解答：解：（Ⅰ）对于函数模型f（x）=
+2
当x∈[10，1000]时，f（x）为增函数 …（2分）
f（x）max=f（1000）=
+2=
+2＜9，所以f（x）≤9恒成立；…（4分）
但当x=10时，f（10）=
+2＞
，即f（x）≤
不恒成立
故函数模型y=
+2不符合公司要求…（6分）
（Ⅱ）对于函数模型g（x）=
，即g（x）=10-
当3a+20＞0，即a＞-
时递增…（8分）
为使g（x）≤9对x∈[10，1000]恒成立，即要g（1000）≤9，3a+18≥1000，
即a≥
…（10分）
为使g（x）≤
对x∈[10，1000]恒成立，即要
≤
，即x2-48x+15a≥0恒成立，
即（x-24）2+15a-576≥0（x∈[10，1000]）恒成立，又x=24∈[10.1000]，
故只需15a-576≥0即可，
所以a≥
…（12分）
综上所述，a≥
，所以满足条件的最小的正整数a的值为328…（13分）
| x |
| 150 |
当x∈[10，1000]时，f（x）为增函数 …（2分）
f（x）max=f（1000）=
| 1000 |
| 150 |
| 20 |
| 3 |
但当x=10时，f（10）=
| 1 |
| 15 |
| 10 |
| 5 |
| x |
| 5 |
故函数模型y=
| x |
| 150 |
（Ⅱ）对于函数模型g（x）=
| 10x-3a |
| x+2 |
| 3a+20 |
| x+2 |
当3a+20＞0，即a＞-
| 20 |
| 3 |
为使g（x）≤9对x∈[10，1000]恒成立，即要g（1000）≤9，3a+18≥1000，
即a≥
| 982 |
| 3 |
为使g（x）≤
| x |
| 5 |
| 10x-3a |
| x+2 |
| x |
| 5 |
即（x-24）2+15a-576≥0（x∈[10，1000]）恒成立，又x=24∈[10.1000]，
故只需15a-576≥0即可，
所以a≥
| 192 |
| 5 |
综上所述，a≥
| 982 |
| 3 |
点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及函数的最值得应用，同时考查了函数的单调性和恒成立问题，以及转化的思想，属于中档题．
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