Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c．
（Ⅰ）若a=-

3

2

，b=-6，c=1，求f（x）在[-2，4]上的最大值与最小值；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象关于原点O对称，在点P（x₀，f（x₀））处的切线为l，l与函数f（x）的图象交于另一点Q（x₁，y₁）．若P、Q在x轴上的射影分别为P₁、Q₁，

OQ1

=λ

OP1

，求λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数的导函数得到函数的驻点，然后在[-2，4]上利用驻点分区间讨论函数的增减性得到函数的最值即可；
（Ⅱ）根据奇函数定义f（-x）=-f（x）求出a和c得到f（x）解析式并求出导函数在点P（x₀，f（x₀））写出切线方程，与f（x）解析式联立求出公共解，再根据

OQ1

=λ

OP1

求出λ的值即可．

解答：（Ⅰ）若a=-

3

2

，b=-6，c=1，f′（x）=3x²-3x-6=3（x-2）（x+1）

最小值为f（2）=-9，最大值为f（4）=17，
（Ⅱ）由已知得：函数f（x）=x³+ax²+bx+c为奇函数
∴a=0，c=0，∴f（x）=x³+bx
∴f′（x）=3x²+b
∵切点为P（x₀，y₀），其中y₀=f（x₀），
则切线l的方程为：y=（3x₀²+b）（x-x₀）+y₀
由

y=(3x02+b)(x-x0)+y0  y=x3+bx

得x³+bx=（3x₀²+b）（x-x₀）+y₀
又y₀=f（x₀）=x₀³+bx₀
∴x³-x₀³+b（x-x₀）-（3x₀²+b）（x-x₀）=0
∴（x-x₀）（x²+x₀x-2x₀²）=0
∴（x-x₀）²（x+2x₀）=0
∴x=x₀或x=-2x₀，由题意知，x₀≠0
从而x₁=-2x₀
∵

OQ1

=λ

OP1

∴x₁=λx₀
∴λ=-2

点评：此题考查学生利用导数求闭区间上函数的最值能力，利用导数研究曲线上某点切线方程的能力．