Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．
（1）当a=

1

3

时，若存在x∈[-3，-1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；
（2）求证：函数y=f′（x）在（-1，0）内至少有一个零点；
（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，关于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=

1

3

时，f′（x）=x2+2bx+b-

1

3

=(x+b)2-b2+b-

1

3

，由二次函数的性质，分类讨论可得答案；
（2）因为f′（x）=3ax²+2bx+（b-a），所以f′（0）=b-a，f'（-1）=2a-b，f′(-

1

3

)=

b-2a

3

．再由a，b不同时为零，所以f′(-

1

3

)•f′(-1)＜0，故结论成立；
（3）将“关于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根”转化为“函数f（x）与y=-

1

4

t的交点”问题解决，先求函数f（x）因为f（x）=ax³+bx²+（b-a）x为奇函数，可解得b=0，所以f（x）=ax³-ax，再由“f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0”解得a，从而得到f（x），再求导，由f′(x)=3(x-

3

3

)(x+

3

3

)，知f（x(-∞，-

3

3

) ， (

3

3

，+∞)上是増函数，在[-

3

3

，

3

3

]上是减函数，明确函数的变化规律，再研究两个函数的相对位置求解．

解答：解：（1）当a=

1

3

时，f′（x）=x2+2bx+b-

1

3

=(x+b)2-b2+b-

1

3

，
其对称轴为直线x=-b，当

-b≥-2 f′(-3)＞0

，解得b＜

26

15

，
当

-b＜-2 f′(-1)＞0

，b无解，
所以b的取值范围为(-∞ ， 

26

15

)；（4分）
（2）因为f′（x）=3ax²+2bx+（b-a），
∴f′（0）=b-a，f'（-1）=2a-b，f′(-

1

3

)=

b-2a

3

．
由于a，b不同时为零，所以f′(-

1

3

)•f′(-1)＜0，故结论成立．
（3）因为f（x）=ax³+bx²+（b-a）x为奇函数，所以b=0，所以f（x）=ax³-ax，
又f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0．
所以a=1，即f（x）=x³-x．因为f′(x)=3(x-

3

3

)(x+

3

3

)
所以f（x）在(-∞，-

3

3

) ， (

3

3

，+∞)上是増函数，
在[-

3

3

，

3

3

]上是减函数，由f（x）=0解得x=±1，x=0，
如图所示，当-1＜t≤-

3

3

时，f(t)≥-

1

4

t≥0，即t3-t≥-

t

4

，解得-

3

2

≤t≤-

3

3

；
当-

3

3

＜t≤0时，f(t)＞-

1

4

t≥0或-

1

4

t=f(-

3

3

)，解得-

3

3

＜t＜0；
当0＜t≤

3

3

时，f(t)≤-

1

4

t＜0或-

1

4

t=f(-

3

3

)，即t3-t≤-

t

4

，解得0＜t≤

3

3

；
当1＞t＞

3

3

时，f(t)＜-

1

4

t＜0或-

1

4

t=f(-

3

3

)或-

1

4

t=f(

3

3

)，故

3

3

＜t＜

3

2

．
当1≤t＜

2 3

3

时，-

1

4

t=f(-

3

3

)或-

1

4

t=f(

3

3

)，解可得t=

8 3

9

，
当t≥

2 3

3

时，f(

2 3

3

)＜-

1

4

t≤f(t)，无解．
所以t的取值范围是-

3

2

≤t＜0或0＜t＜

3

2

或t=

8 3

9

．

点评：本题主要考查利用导数法研究函数的单调性，主要涉及了函数的奇偶性，函数的图象和性质以及方程的根转化为函数图象的交点解决等问题．