Question

已知抛物线y=ax²+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．
（Ⅰ）用b表示a，并求b的范围；
（Ⅱ）设此抛物线与x轴所围成的图形的面积为S，求S的最大值及此时a、b的值．

Answer 1

（I）因为直线x+y=4与抛物线y=ax²+bx相切，设切点（x₀，y₀）
则f′（x₀）=2ax₀+b=-1，∴x0=

-b-1

2a

又∵

x0+y0=4 y0=ax02+bx

0得a=-

(b+1)2

16

，∵0＜x₀，0＜y₀，得0＜

-b-1

2a

＜4，解得b＞1
（II）S=

∫

- b a 0

(ax2+bx)dx=

1

6a2

b3=

128b3

6(b+1)4

，S′=

128b2(3-b)

3(b+1)5

；
所以在b=3时，S取得极大值，也是最大值，即a=-1，b=3时，S取得最大值，且Smax=

9

2

．