题目内容
【题目】如图所示的多面体中,四边形
是边长为2的正方形,
平面
.
(1)设BD与AC的交点为O,求证:平面
;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】
(1)根据题意,推导出面
,
,
,结合线面垂直的判定定理证得
面
;
(2)以为原点,
,
,
方向建立空间直角坐标系,利用面的法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值,之后应用平方关系求得正弦值,得到结果.
(1) 证明:由题意可知:面
,
从而,
,又
为
中点,
,在
中,
,
,
又
,
面
.
(2)面
,且
,
如图以为原点,
,
,
方向建立空间直角坐标系,
从而,0,
,
,0,
,
,2,
,
,2,
,
,1,
由(1)可知,1,
是面
的一个法向量,
设,
,
为面
的一个法向量,
由,令
得
,
,
,
设为二面角
的平面角,
则,
.
二面
角的正弦值为
.
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