题目内容

在平面直角坐标系中，已知点，，为动点，且直线与直线的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设过点的直线与曲线相交于不同的两点，.若点在轴上，且，求点的纵坐标的取值范围.

（1）；（2）.

解析试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、中点坐标公式等基础知识，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、分类讨论思想、坐标化方法等.第一问，设出动点坐标，利用斜率的关系列出表达式，整理出方程；第二问，先根据直线的斜率是否存在进行讨论，当斜率存在时，设出直线方程，因为相交，所以联立方程，消参，得到关于的方程，找到中点坐标，因为，所以找直线的垂直平分线，令，得到纵坐标，讨论的正负，利用基本不等式得到范围.
试题解析：（1）设动点的坐标为，依题意可知，
整理得.                     3分
所以动点的轨迹的方程为.            5分
（2）当直线的斜率不存在时，满足条件的点的纵坐标为.       7分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为.
将代入并整理得，
.  .           8分  
设，，则，.
设的中点为，则，，
所以.                 10分
由题意可知，
又直线的垂直平分线的方程为.
令解得 .                        .   11分
当时，因为，所以；      
当时，因为，所以.   .   13分
综上所述，点纵坐标的取值范围是.               .   14分
考点：1.椭圆的标准方程；2.中点坐标公式；3.垂直平分线方程；4.基本不等式.

练习册系列答案
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在周长为定值的DDEC中,已知,动点C的运动轨迹为曲线G,且当动点C运动时,有最小值．
（1）以DE所在直线为x轴,线段DE的中垂线为y轴建立直角坐标系,求曲线G的方程;
（2）直线l分别切椭圆G与圆(其中)于A、B两点,求|AB|的取值范围．

已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（－5，0），（5，0），且AC，BC所在直
线的斜率之积等于m（m≠0），求顶点C的轨迹．

设点A（，0），B（，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为.
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若直线过点F（1，0）且绕F旋转，与圆相交于P、Q两点，与轨迹C相交于R、S两点，若|PQ|求△的面积的最大值和最小值（F′为轨迹C的左焦点）.

如图，已知抛物线焦点为，直线经过点且与抛物线相交于，两点

（Ⅰ）若线段的中点在直线上，求直线的方程；
（Ⅱ）若线段，求直线的方程

在直角坐标系中,点到两点的距离之和等于4,设点的轨迹为,直线与交于两点.
(1)写出的方程;
(2) ，求的值.

设是抛物线上相异两点，到y轴的距离的积为且．

（1）求该抛物线的标准方程.
（2）过Q的直线与抛物线的另一交点为R，与轴交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值．

在平面直角坐标系中，已知定点A（－2，0）、B（2，0），异于A、B两点的动点P满足，其中k1、k2分别表示直线AP、BP的斜率．

（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若N是直线x=2上异于点B的任意一点，直线AN与（I）中轨迹E交予点Q，设直线QB与以NB为直径的圆的一个交点为M（异于点B），点C（1，0），求证：|CM|·|CN| 为定值.

如图，曲线与曲线相交于、、、四个点.
⑴ 求的取值范围；
⑵ 求四边形的面积的最大值及此时对角线与的交点坐标.

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