题目内容

分析:首先设CD=1,则AB=2,再设AD=x,得BD=2-x,(0<x<2),然后根据直角三角形中三角函数的定义,得到tanA=
且tgB=
,代入y=tanA+2tanB的表达式,再进行配凑,得到y=-
,最后通过基本不等式讨论分母的最小值,可得y的最小值是
.根据取等号的条件得到:当且仅当x=2
-2时,取到这个最小值,求出AD与DB的比值,从而确定D点的位置,问题得到解决.
1 |
x |
1 |
2-x |
1 | ||
x+2+
|
3+2
| ||
2 |
2 |
解答:解:设CD=1,则AB=2,再设AD=x,得BD=2-x,(0<x<2)
∵Rt△ACD中,tanA=
=
,Rt△BCD中,tanB=
=
∴y=tanA+2tanB=
+
=
+
=
=
=-
∵x+2+
≥4
;当且仅当(x+2)2=8,x=2
-2时取等号
∴当x=2
-2时,y取得最小值-
=
此时DB=2-(2
-2)=4-2
,
∴AD:DB=
=
答:取AD:DB=1:
时,y有最小值
∵Rt△ACD中,tanA=
CD |
AD |
1 |
x |
CD |
BD |
1 |
2-x |
∴y=tanA+2tanB=
CD |
AD |
2CD |
BD |
=
1 |
x |
2 |
2-x |
x+2 |
x(2-x) |
1 | ||
|
1 | ||
x+2+
|
∵x+2+
8 |
x+2 |
2 |
2 |
∴当x=2
2 |
1 | ||
4
|
3+2
| ||
2 |
此时DB=2-(2
2 |
2 |
∴AD:DB=
2
| ||
4-2
|
1 | ||
|
答:取AD:DB=1:
2 |
3+2
| ||
2 |
点评:本题借助于一个实际问题,通过求函数的最小值,着重考查了任意角三角函数的定义、基本不等式和函数的值域与最值等知识点,属于中档题.

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