Question

（本小题满分12分）已知不等式ax²－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，

(1)求a，b；

(2)解不等式ax²－(ac＋b)x＋bc＜0.

 

Answer 1

【答案】

(1) ；

(2)当c＞2时，不等式ax²－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；

当c＜2时，不等式ax²－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；

当c＝2时，不等式ax²－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为∅.

【解析】

试题分析：（1）一元二次不等式解集的端点就是对应一元二次方程的根，再利用一元二次方程根与系数的关系解出a，b．

（2）先把一元二次不等式变形到（x-2）（x-c）＜0，分当c＞2时、当c＜2时、当c=2时，三种情况求出此不等式的解集．

解：(1)因为不等式ax²－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x₁＝1与x₂＝b是方程ax²－3x＋2＝0的两个实数根，且b＞1.

由根与系数的关系，得      ------3分

解得所以     --------5分

(2)所以不等式ax²－(ac＋b)x＋bc＜0，

即x²－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0.   ------7分

①当c＞2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|2＜x＜c}；  ------8分

②当c＜2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|c＜x＜2}；  -----9分

③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为∅.    ----------10分

综上所述：当c＞2时，不等式ax²－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；

当c＜2时，不等式ax²－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；

当c＝2时，不等式ax²－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为∅.   -------12分

考点：本试题主要考查了一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题．

点评：解决该试题的关键是能够对于二次不等式的求解的步骤明确：第一看开口方向，第二看判别式，确定是否有解，然后利用图像，得到解集。