Question

已知：函数f（x）=x-

1

x

，
（1）求：函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（3）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

分析：（1）由函数的解析式可知，分式的分母不为0，可得函数的定义域．
（2）利用奇偶函数的定义，先判断定义域是否关于原点对称，然后探讨f（-x）与f（x）关系可得函数的奇偶性．
（3）利用函数单调性的定义，然后判断f（x₁）-f（x₂）的符号，可得其单调性．

解答：解：（1）定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）；
（2）定义域关于原点对称，f（-x）=（-x）-

1

-x

=-x+

1

x

=-f(x)，
则：函数f（x）是奇函数；
（3）判断：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
证明：任取x₁，x_2∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=x1-

1

x1

-x2+

1

x2

=(x1-x2)+

x1-x2

x1x2

=(x1-x2)(1+

1

x1x2

)
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
∵x₁，x_2∈（0，+∞），∴1+

1

x1x2

＞0，
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1+

1

x1x2

)＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了函数的定义域，奇偶性，单调性的判断方法，把握定义是解决问题的方法，是基础题．