Question

已知函数f(x)=a-

2

2x+1

（其中常数a∈R）
（1）判断函数f（x）的单调性，并加以证明；
（2）如果f（x）是奇函数，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）根据指数函数的单调性与底数的关系，分析出y=2^x在R上为增函数，进而根据

1

f(x)

的单调性与f（x）单调性相反，-f（x）的单调性与f（x）单调性相反，利用分析法可证明函数f（x）的单调性
（2）根据定义在R上奇函数图象必过原点，将（0，0）代入可求出a值．

解答：解（1）函数f(x)=a-

2

2x+1

在R上为增函数
理由如下：
∵2＞1，故y=2^x在R上为增函数，
故y=2^x+1在R上为增函数
故y=

2

2x+1

在R上为减函数
故y=-

2

2x+1

在R上为增函数
故函数f(x)=a-

2

2x+1

在R上为增函数
（2）若函数f(x)=a-

2

2x+1

为奇函数
则f（0）=a-

2

20+1

=a-1=0
故a=1

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，熟练掌握函数奇偶性和单调性的性质是解答的关键．