Question

设函数f（x）=x²+x-

1

4

．
（1）若函数的定义域为[0，3]，求f（x）的值域；
（2）若定义域为[a，a+1]时，f（x）的值域是[-

1

2

，

1

16

]，求a的值．

Answer 1

分析：本题考查二次函数的值域问题，第（1）小问考查的是定轴定区间的值域问题，比较容易，第（2）小问是值域逆向问题，由于区间含有参数a，所以需要对函数的对称轴与区间的位置关系进行讨论，有时还需要考虑区间的中点与对称轴的位置关系．

解答：解：（1）∵f（x）=(x+

1

2

)2-

1

2

，
∴对称轴为x=-

1

2

．∵-

1

2

＜0≤x≤3，
∴f（x）的值域是[f（0），f（3）]，即[-

1

4

，

47

4

]．
（2）∵f（x）的最小值为-

1

2

，
∴对称轴x=-

1

2

∈[a，a+1]．
∴

a≤ - 1 2 a+1≥- 1 2

解得-

3

2

≤a≤-

1

2

．
∵区间[a，a+1]的中点为x₀=a+

1

2

，
当a+

1

2

≥-

1

2

，即-1≤a≤-

1

2

时，
f（x）最大值为f（a+1）=

1

16

．
∴（a+1）²+（a+1）-

1

4

=

1

16

．
∴16a²+48a+27=0．
∴a=-

3

4

(a=-

9

4

舍去)．
当a+

1

2

＜-

1

2

，即-

3

2

≤a＜-1时，
f（x）最大值为f（a）=

1

16

，
∴a²+a-

1

4

=

1

16

．
∴16a²+16a-5=0．
∴a=-

5

4

(a=

1

4

舍去)．
综上知a=-

3

4

或a=-

5

4

．

点评：本题涉及的主要数学思想是分类讨论的思想，对于分类讨论的题目，我们要弄清楚分类的标准，做到不重复不漏掉；