Question

（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P满足

（Ⅰ）证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．

Answer 1

解：

（I）F（0，1），的方程为，

代入并化简得

                  …………2分

设

则

由题意得

所以点P的坐标为

经验证，点P的坐标为满足方程

故点P在椭圆C上。            …………6分

   （II）由和题设知，

PQ的垂直平分线的方程为

         ①

设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线为的方程为

            ②

由①、②得的交点为。        …………9分

故|NP|=|NA|。

又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，

所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，

由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上 …………12分