题目内容

【题目】已知定义域为R的函数 是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.

【答案】
(1)解:∵f(x)是奇函数且0∈R,∴f(0)=0即

又由f(1)=-f(-1)知 a=2

∴f(x)=


(2)解:证明设x1,x2∈(-∞,+∞)且x1<x2

·

∵y=2x在(-∞,+∞)上为增函数且x1<x2,∴

且y=2x>0恒成立,∴

∴f(x1)-f(x2)>0 即f(x1)>f(x2

∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数

∵f(x)是奇函数f(x2-x)+f(2x2-t)<0等价于f(x2-x)<-f(2x2-t)=f(-2x2+t)

又∵f(x)是减函数,∴x2-x>-2x2+t

即一切x∈R,3x2-x-t>0恒成立

∴△=1+12t<0,即t<


【解析】(1)利用奇函数的性质f(0)=0求出b的值,根据奇函数的定义即可求出a的值即可。(2)由题意根据函数单调性的定义可证出f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,结合函数的奇偶性以及单调性得到关于x的一元二次不等式,利用一元二次不等式的性质求出t的取值范围。
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的性质的相关知识,掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集,以及对函数奇偶性的性质的理解,了解在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇.

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