Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n总有S_n=p（a_n-1）（p为常数，且p≠0，p≠1），数列{b_n}满足b_n=2n+q（q为常数）
（I）求数列{a_n}的通项公式（用p表示）；
（II）若a₁=b₁，a₂＜b₂，求p的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先把n=1直接代入求出数列{a_n}的首项a₁，再利用a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）找到递推关系式整理即可求通项公式；
 （II）利用a₁=b₁，a₂＜b₂，可得p的不等式，从而可求p的取值范围

解答：解：（I）由题a₁=s₁=p（a₁-1）⇒a1=

p

p-1

（p≠0，p≠1），
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=p（a_n-a_n-1）⇒（p-1）a_n=pa_n-1，
即

an

an-1

=

p

p-1

（常数）．
所以{a_n}是以

p

p-1

为首项，

p

p-1

为公比的等比数列，
所以 an=

p

p-1

• (

p

p-1

) n-1= (

p

p-1

)n  
 （II）

a1=b1 a2＜b2

⇒

p p-1 =2+q ( p p-1 )2＜4+q

，消去q，并整理得，(

p

p-1

)2-

p

p-1

-2＜0
∴-1＜

p

p-1

＜2，∴p＜

1

2

或p＞2
∵p≠0，∴p的取值范围为(-∞，0)∪(0，

1

2

)∪(2，+∞)

点评：本题是对数列的递推关系式以及数列与函数综合的考查．关键是列出两式，再相减．