题目内容
在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（原点除外）上给定两点A（0，a）、B（0，b）（a＞b＞0）．试在x轴的正半轴（原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值，并求出这个最大值．分析：先由题意作图，设C（x，0），进而根据A，B坐标表示出直线AC和BC的斜率，进而根据正切的两角和公式求得tan∠ACB的表达式，根据均值不等式求得最大值时x的值．
解答：
解：由题意作下图，设C（x，0），其中x＞0．
又A（0，a），B（0，b）（a＞b＞0），
则kAC=
=-
，
kBC=
=-
．
∴tan∠ACB=
=
=
≤
．此时x=
时取等号．
故所求点C（
，0），最大值为arctan
．
解：由题意作下图，设C（x，0），其中x＞0．又A（0，a），B（0，b）（a＞b＞0），
则kAC=
| a-0 |
| 0-x |
| a |
| x |
kBC=
| b-0 |
| 0-x |
| b |
| x |
∴tan∠ACB=
| kBC-kAC |
| 1+kBC•kAC |
| ||||
1+
|
| a-b | ||||||||||
|
| a-b | ||
2
|
| ab |
故所求点C（
| ab |
| a-b | ||
2
|
点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．在解决最值问题时，要注意拼凑出均值不等式的形式，进而求得最值．
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