Question

已知F₁、F₂是双曲线C：x2-

y2

15

=1的两个焦点，若离心率等于

4

5

的椭圆E与双曲线C的焦点相同．
（1）求椭圆E的方程；
（2）如果动点P（m，n）满足|PF₁|+|PF₂|=10，曲线M的方程为：

x2

2

+

y2

2

=1．判断直线l：mx+ny=1与曲线M的公共点的个数，并说明理由；当直线l与曲线M相交时，求直线l：mx+ny=1截曲线M所得弦长的最大值．

Answer 1

（1）∵F₁、F₂是双曲线C：x2-

y2

15

=1的两个焦点，∴c=

1+15

=4
不妨设F₁（-4，0）、F₂（4，0）．
∵椭圆E与双曲线C的焦点相同．
∴设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵根据已知得

c=4 c a = 4 5 b2=a2-c2

，解得

c=4 a=5 b2=9

∴椭圆E的方程为

x2

25

+

y2

9

=1
（2）直线l：mx+ny=1与曲线M有两个公共点．
理由是：
∵动点P（m，n）满足|PF₁|+|PF₂|=10，∴P（m，n）是椭圆E上的点，
∴

m2

25

+

n2

9

=1，∴n2=9-

9

25

m2，0≤m²≤25
∵曲线M是圆心为（0，0），半径为r=

2

的圆
圆心（0，0）到直线l：mx+ny-1=0的距离d=

1

m2+n2

=

1

9+ 16 25 m2

≤

1

9+0

=

1

3

＜

2

∴直线l：mx+ny=1与曲线M有两个公共点．
设直线l：mx+ny=1截曲线M所得弦长t，t=2

r2-d2

=2

2- 1 9+ 16 25 m2

在0≤m²≤25上递增
∴当m²=25，m=±5，n=0，即l：x=±

1

5

时，t最大为

14

5

．