Question

1．如图，A、D分别是矩形A₁BCD₁上的点，AB=2AA₁=2AD=2，DC=2DD₁，把四边形A₁ADD₁沿AD折叠成直二面角，连接A₁B，D₁C得几何体ABA₁-DCD₁．
（1）当点E在棱AB上移动，证明：D₁E⊥A₁D；
（2）在棱AB上是否存在点E，使二面角D₁-EC-D的平面角为$\frac{π}{6}$？若存在，求出AE的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先以D为坐标原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，A₁，D，D₁几点坐标可以求出，设E（1，y₀，0），求$\overrightarrow{{D}_{1}E}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0$即可证明D₁E⊥A₁D；
（2）假设棱AB上存在点E，使二面角D₁-EC-D的平面角为$\frac{π}{6}$，并设E（1，y₀，0），设$\overrightarrow{r}=（x，y，z）$是平面D₁CE的一条法向量，而根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{r}•\overrightarrow{{D}_{1}E}=0}\\{\overrightarrow{r}•\overrightarrow{CE}=0}\end{array}\right.$即可求得$\overrightarrow{r}=（{y}_{0}-1，1，1）$，而$\overrightarrow{D{D}_{1}}$显然是平面DCE的一条法向量，这两法向量的夹角应为$\frac{π}{6}$，带入向量夹角的余弦公式即可得到关于y₀的方程，方程有解便存在E，否则不存在．

解答 解：（1）以D为坐标原点，边DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
可以确定以下几点坐标：
D（0，0，0），D₁（0，0，1），A₁（1，0，1），C（0，2，0），设E（1，y₀，0），0≤y₀≤2；
∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}=（-1，0，-1）$，$\overrightarrow{{D}_{1}E}=（1，{y}_{0}，-1）$；
$\overrightarrow{{D}_{1}E}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0$；
∴D₁E⊥A₁D；
（2）假设存在E（1，y₀，0）使二面角D₁-EC-D的平面角为$\frac{π}{6}$，其中0≤y₀≤2；
DD₁⊥平面DCE；
∴$\overrightarrow{D{D}_{1}}=（0，0，1）$可作为平面DCE的一条法向量；
设平面D₁CE的一条法向量为$\overrightarrow{r}=（x，y，z）$，则：
$\overrightarrow{r}⊥\overrightarrow{{D}_{1}E}，\overrightarrow{r}⊥\overrightarrow{CE}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{r}•\overrightarrow{{D}_{1}E}=x+{y}_{0}y-z=0}\\{\overrightarrow{r}•\overrightarrow{CE}=x+{（y}_{0}-2）y=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=（2-{y}_{0}）y}\\{z=2y}\end{array}\right.$，取y=1；
∴平面D₁CE的一条法向量为$\overrightarrow{r}=（2-{y}_{0}，1，2）$；
∴$\overrightarrow{D{D}_{1}}$，和$\overrightarrow{r}$所成角为$\frac{π}{6}$；
∴$cos\frac{π}{6}=\frac{2}{\sqrt{（2-{y}_{0}）^{2}+1+4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴整理得$3{{y}_{0}}^{2}-12{y}_{0}+11=0$；
解得${y}_{0}=2-\frac{\sqrt{3}}{3}，或2+\frac{\sqrt{3}}{3}$（舍去）；
∴$E（1，2-\frac{\sqrt{3}}{3}，0）$，A（1，0，0）；
∴$|AE|=2-\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴在棱AB上存在点E，使二面角D₁-EC-D的平面角为$\frac{π}{6}$，且|AE|=$2-\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决立体几何问题的方法，空间两非零向量垂直的充要条件，以及平面法向量的概念及求法，平面法向量的夹角和两平面形成二面角平面角的关系，向量夹角余弦公式的坐标运算，数量积的坐标运算．