题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,圆
的参数方程为
(
是参数,
是大于0的常数).以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆
的极坐标方程为
.
(1)求圆的极坐标方程和圆
的直角坐标方程;
(2)分别记直线:
,
与圆
、圆
的异于原点的交点为
,
,若圆
与圆
外切,试求实数
的值及线段
的长.
【答案】(1)圆的极坐标方程为
,
的直角坐标方程为
(2)
,
【解析】
(1)利用消去参数
,求得圆
的普通方程,进而转化为极坐标方程.利用
,
以及两角差的余弦公式,将圆
的极坐标方程转化为直角坐标方程.
(2)先求得两个圆的圆心和半径,利用两圆外切,圆心距等于两圆半径之和列方程,解方程求得的值.将
分别代入
的极坐标方程,利用
的几何意义,求得线段
的长.
(1)圆:
(
是参数)消去参数
,
得其普通方程为,
将,
代入上式并化简,
得圆的极坐标方程为
.
由圆的极坐标方程
,得
.
将,
,
代入上式,
得圆的直角坐标方程为
.
(2)由(1)知圆的圆心
,半径
;圆
的圆心
,半径
,
,
∵圆与圆
外切,
∴,解得
,
即圆的极坐标方程为
,
将代入
,得
,
得,
将代入
,得
,得
,
故.

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