题目内容

已知抛物线y2=4x,椭圆经过点M(0,
3
)
,它们在x轴上有共同焦点,椭圆的对称轴是坐标轴.
(1)求椭圆的方程;
(2)若P是椭圆上的点,设T的坐标为(t,0)(t是已知正实数),求P与T之间的最短距离.
分析:(1)先求出抛物线的焦点坐标,进而设出椭圆方程,再根据焦点坐标求出b,a,即可求椭圆的方程;
(2)先利用设P(x,y),则|PT|═
(x-4t)2+12-12t2
4
(-2≤x≤2),再对t的取值进行讨论:①当0<t≤
1
2
时,②当t>
1
2
时,x=2,求得P与T之间的最短距离即可.
解答:解:(1)抛物线的焦点为(1,0)…(2分)
设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,则a2-b2=1,b=
3
…(4分)
∴a2=4,b2=3
∴椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1
…(6分)
(2)设P(x,y),则|PT|=
(x-t)2+y2
=
(x-t)2+3(1-
x2
4
)

=
(x-4t)2+12-12t2
4
(-2≤x≤2)…(8分)
①当0<t≤
1
2
时,x=4t,即P(4t,±
3-3t2
)
时,|PT|min=
3-3t2

②当t>
1
2
时,x=2,即P(2,0)9时,|PT|min=|t-2|10;
综上,|PT|min=
3-3t2
,0<t≤
1
2
|t-2|,t>
1
2
…(14分)
(注:也可设P(2cosθ,
3
sinθ)(0<θ≤2π)
解答,参照以上解答相应评分)
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题.第一问涉及到了求抛物线的焦点坐标,在求抛物线的焦点坐标时,一定注意先把抛物线方程转化为标准形式,再求解,避免出错.
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