Question

8．某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元，使用规定，不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次，某班有48名学生，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的车费均为40元，若使每个同学游8次，则购买几张游泳卡最合算？每人最少交多少钱？

Answer 1

分析 设买x张游泳卡，总开支为y元，可得y关于x的函数：y=240x+$\frac{384}{x}$×40（0＜x≤48，x∈Z）．再由基本不等式算出y=240（x+$\frac{64}{x}$）≥3840，得当x=8时，总开支y的最大值为3840元，由此即可得到每个同学游8次的最少交费．

解答 解：设买x张游泳卡，总开支为y元，则每批去x名同学，共需去$\frac{384}{x}$批，
总开支又分为：①买卡所需费用240x；②包车所需费用$\frac{384}{x}$×40．
∴y=240x+$\frac{384}{x}$×40（0＜x≤48，x∈Z）．
因此，y=240（x+$\frac{64}{x}$）≥240×2$\sqrt{x•\frac{64}{x}}$=3840
当且仅当x=$\frac{64}{x}$时，即x=8时取等号．
∴当x=8时，总开支y的最小值为3840元，此时每人最少应交$\frac{3840}{48}$=80（元）．
答：若使每个同学游8次，买8张游泳卡最合算，每人最少应交80元钱．

点评 本题以一个实际应用问题为例，求同学们游泳的最小开支．着重考查了函数模型及其应用、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．