Question

如图，正方形ABCD所在的平面与三角形ADE所在平面互相垂直，△AEB是等腰直角三角形，且AE=ED设线段BC、PBC的中点分别为F、M，
求证：（1）FM∥平面ECD；
（2）求二面角E-BD-A的正切值．

Answer 1

分析：（1）取AD的中点N，连接FN，MN，可证明平面FMN∥平面ECD．进而转化为FM∥平面ECD（2）先作二面角的平面角，连接EN，由面ADE⊥面ABCD，易得EN⊥面ABCD，再由三垂线定理作NP⊥BD，连接EP，则EP⊥BD，有∠EPN是二面角E-BD-A的平面角，然后分别求得，两直角边EN，NP的度即可．

解答：（1）证明：取AD的中点N，连接FN，MN，则MN∥ED，FN∥CD
∴平面FMN∥平面ECD．
∵MF在平面FMN内，
∴FM∥平面ECD（5分）
（2）解：连接EN，∵AE=ED，N为AD的中点，
∴EN⊥AD．
又∵面ADE⊥面ABCD，∴EN⊥面ABCD．
作NP⊥BD，连接EP，则EP⊥BD，
∴∠EPN即二面角E-BD-A的平面角，
设AD=a，∵ABCD为正方形，△ADE为等腰三角形，∴EN=

1

2

a，NP=

2

4

a．
∴tan∠EPN=

2

．（10分）

点评：本题主要考查线线，线面，面面平行，垂直关系的转化与应用，还考查了二面角的求法，关键是论证二面角的平面角，常用的方法是三垂直线定理或其逆定理以及面面，线面，线线垂直关系转化，属中档题．