题目内容
定义域为R的函数y=f（x）满足：①f(x+
| π |
| 2 |
②函数在[
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
（1）求m的值；
（2）若f(
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
（3）设y=g（x）=2cos2x+sinx+m+2，若对于y在集合M中的每一个值，x在区间（0，π）上恰有两个不同的值与之对应，求集合M．
分析：（1）先求出函数的周期性，然后求出函数的单调性，结合条件f(x+
)=-f(x)可求出m；
（2）根据条件可知函数f（x）的图象关于点（
，0）对称，然后根据f(
sinx+
)＞0和
sinx+
的自身的范围即可求出满足条件的x的集合；
（3）若对于y在集合M中的每一个值，x在区间（0，π）上恰有两个不同的值与之对应转化成h（t）=-2t2+t+2-y=0在（0，1）上只有一解，只需h（1）•h（0）＜0即可求出集合M．
| π |
| 2 |
（2）根据条件可知函数f（x）的图象关于点（
| π |
| 3 |
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
（3）若对于y在集合M中的每一个值，x在区间（0，π）上恰有两个不同的值与之对应转化成h（t）=-2t2+t+2-y=0在（0，1）上只有一解，只需h（1）•h（0）＜0即可求出集合M．
解答：解：（1）∵f(x+
)=-f(x)；∴f（x+π）=f（x），f（x）是以T=π的周期函数
而函数在[
，
]的值域为[m，2]，并且?x1，x2∈[
，
]，当x1＜x2时恒有f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）在[
，
]上单调递增，而f(x+
)=-f(x)，∴m=-2
（2）∵f(
+x)=-f(
-x)，∴f（x）的图象关于点（
，0）对称
∵f(
sinx+
)＞0
∴
+kπ＜
sinx+
＜
+kπ，而
≤
sinx+
≤
则
＜
sinx+
≤
∴0＜sinx≤1即满足条件的x的集合为{x|2kπ＜x＜π+2kπ，k∈Z}
（3）∵y=g（x）=2cos2x+sinx
∴y=g（x）=-2sin2x+sinx+2
令sinx=t∈（0，1）则y=-2t2+t+2
若对于y在集合M中的每一个值，x在区间（0，π）上恰有两个不同的值与之对应转化成h（t）=-2t2+t+2-y=0在（0，1）上只有一解
∴h（1）•h（0）=（1-y）（2-y）＜0
解得1＜y＜2
∴集合M={y|1＜y＜2}．
| π |
| 2 |
而函数在[
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
∴函数f（x）在[
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
| π |
| 2 |
（2）∵f(
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵f(
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
∴
| π |
| 3 |
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 12 |
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| 7π |
| 12 |
则
| π |
| 3 |
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| 7π |
| 12 |
∴0＜sinx≤1即满足条件的x的集合为{x|2kπ＜x＜π+2kπ，k∈Z}
（3）∵y=g（x）=2cos2x+sinx
∴y=g（x）=-2sin2x+sinx+2
令sinx=t∈（0，1）则y=-2t2+t+2
若对于y在集合M中的每一个值，x在区间（0，π）上恰有两个不同的值与之对应转化成h（t）=-2t2+t+2-y=0在（0，1）上只有一解
∴h（1）•h（0）=（1-y）（2-y）＜0
解得1＜y＜2
∴集合M={y|1＜y＜2}．
点评：本题主要考查了抽象函数及其应用和三角不等式的解法，同时考查了转化的思想，属于中档题．
练习册系列答案
步步高达标卷系列答案
相关题目
已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（x+1）f（x-1）=1，且f（3）=3，则f（2009）=（ ）
| A、3 | ||
B、
| ||
| C、2009 | ||
D、
|