Question

已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（x+1）f（x-1）=1，且f（3）=3，则f（2009）=（　　）

• A、3
• B、

  1

  3

• C、2009
• D、

  1

  2009

Answer 1

分析：由题意和f（3）=3，需要令x=2代入关系式可求出f（1），再令x=x+1和x=x+2求出函数的周期，利用周期性求出f（2009）的值．

解答：解：由题意知，对于任意的实数都有f（x+1）f（x-1）=1，
令x=2代入上式得，f（3）f（1）=1，
∵f（3）=3，∴f（1）=

1

3

，
令x=x+1代入得，f（x+2）f（x）=1，则f（x+2）=

1

f(x)

，
f（x+4）=

1

f(x+2)

=f（x），∴f（x）是周期函数且周期是4，
∴f（2009）=f（4×502+1）=f（1）=

1

3

．
故选B．

点评：本题是一道抽象函数问题，解题的关键是巧妙的赋值，求出函数值和函数的周期性，再利用周期性求函数值，即灵活的“赋值法”是解决抽象函数问题的基本方法．