Question

（2006•上海模拟）已知x∈R，z∈C，x²+zx+3z+4i=0
（1）若Z在复平面内对应的点Z在第一象限，求x的范围
（2）是否存在这样的x，使得z=

2006

-

2005

i成立．

Answer 1

分析：（1）根据题意设z=a+bi（a∈R，b∈R）然后代入x²+zx+3z+4i=0中再根据复数的相等可求出a，b再根据Z在复平面内对应的点Z在第一象限即a＞0，b＞0即可求出x的范围．
（2）可假设存在这样的x，使得z=

2006

-

2005

i成立则可将z代入x²+zx+3z+4i=0再根据复数的相等得出x满足的关系式再根据其关系判断是否能求出x若能求出则假设成立否则假设错误即不存在满足条件的x．

解答：解：（1）根据题意设z=a+bi（a∈R，b∈R）
∵x∈R，z∈C，x²+zx+3z+4i=0
∴x²+ax+3a+（bx+3b+4）i=0
∴x²+ax+3a=0且bx+3b+4=0
∴a=-

x2

x+3

，b=-

4

x+3

∵Z在复平面内对应的点Z在第一象限
∴a＞0，b＞0
∴-

x2

x+3

＞0，b=-

4

x+3

＞0
∴x∈（-∞，3）
（2）假设存在这样的x，使得z=

2006

-

2005

i成立由（1）可得

2006

=-

x2

x+3

，-

2005

=-

4

x+3

∴-

2006

2005

= 

x2

4

这是不可能的
∴假设错误即即不存在满足条件的x使得z=

2006

-

2005

i成立．

点评：本题主要考差了复数的代数表示即其几何意义．解题的关键是第一问要将复数z设出来再根据复数的相等求出a，b再利用复数的几何意义可得a＞0，b＞0就可求出x的范围．而第二问关键是在第一问的基础上得出得

2006

=-

x2

x+3

，-

2005

=-

4

x+3

只需将俩式相除即可得出矛盾而不需直接解方程！