题目内容
（2006•上海模拟）△ABC的两条边上的高的交点为H，外接圆的圆心为O，则
=m(
+
+
)，则实数m=
| OH |
| OA |
| OB |
| OC |
1
1
．分析：根据题意作出图形，由外心和垂心的性质证明四边形AHCD是平行四边形，由向量加法的三角形法则
=
+
，由向量相等和向量的减法运算进行转化，直到用
，
和
表示出来为止．
| OH |
| OA |
| AH |
| OA |
| OB |
| OC |
解答：解：如图：作直径BD，连接DA、DC，
由图得，
=-
，
∵H为△ABC的垂心，∴CH⊥AB，AH⊥BC，
∵BD为直径，∴DA⊥AB，DC⊥BC
∴CH∥AD，AH∥CD，故四边形AHCD是平行四边形，∴
=
，
又∵
=
-
=
+
，
∴
=
+
=
+
=
+
+
，对比系数得到m=1．
故答案为：1．
由图得，
| OB |
| OD |
∵H为△ABC的垂心，∴CH⊥AB，AH⊥BC，
∵BD为直径，∴DA⊥AB，DC⊥BC
∴CH∥AD，AH∥CD，故四边形AHCD是平行四边形，∴
| AH |
| DC |
又∵
| DC |
| OC |
| OD |
| OC |
| OB |
∴
| OH |
| OA |
| AH |
| OA |
| DC |
| OA |
| OB |
| OC |
故答案为：1．
点评：本题考查三角形的五心，解答本题，关键是根据题意，构造出平行四边形，再利用向量运算，将三个向量的和表示出来，本题中选择入手的位置很关键，此类似于代数中的化简式证明．作题时注意构造法思想的运用，向量在几何中的运用．
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