Question

给出下列四个判断：
①定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时f（x）=x²+2，则函数f（x）的值域为{y|y≥2或y≤-2}；
②若不等式x³+x²+a＜0对一切x∈[0，2]恒成立，则实数a的取值范围是{a|a＜-12}；
③当f（x）=log₃x时，对于函数f（x）定义域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂）都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

；
④设g（x）表示不超过t＞0的最大整数，如：[2]=2，[1.25]=1，对于给定的n∈N⁺，定义

C

x n

=

n(n-1)…(n-[x]+1)

x(x-1)…(x-[x]+1)

，x∈[1，+∞），则当x∈[

3

2

，2）时函数

C

x 8

的值域是(4，

16

3

]；
上述判断中正确的结论的序号是

②④

．

Answer 1

分析：根据题意，结合当x=0时f（0）=0，故①错误；
分离参数a，得a＜-（x³+x²），只需求-（x³+x²）在x∈[0，2]时的最小值即可；
利用对数的运算法则判断出f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f(x2)

2

＞0；
对“

C

x n

=

n(n-1)…(n-[x]+1)

x(x-1)…(x-[x]+1)

”理解是解决此题的问题，如求

C

3 2 8

，它是由一个分式的分子和分母两部分构成，分子是8，分母是

3

2

．按此理解将函数C^x₈的值域问题转化成一个函数的值域求解．

解答：解：①∵f（x）在R上的奇函数，∴f（0）=0，∴f（x）的值域为{y|y≥2或y≤-2}是错误的；
②∵x³+x²+a＜0对一切x∈[0，2]恒成立，∴a＜-（x³+x²），
若令y=-（x³+x²），则y′=-3x²-2x
由于y′≤0在x∈[0，2]上恒成立，
则函数y=-（x³+x²）在x=2时取得最小值是-12，∴a＜-12，
故a的取值范围是{a|a＜-12}是正确的；
③∵f（x）=log₃x时，对于f（x）定义域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂），
f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f(x2)

2

=log₃

x1+x2

2

-

log3x1+log3x2

2

=log₃

x1+x2

2

-log₃

x1x2

由于两数的算术平均数大于几何平均数，
故log₃

x1+x2

2

-log₃

x1x2

＞0，
∴f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

是错误的；
④当x∈[

3

2

，2）时，

C

3 2 8

=

8

3 2

=

16

3

，当x→2时，[x]=1，
∴

C

x 8

=

8

2

=4；
则当x＞0时函数

C

x 8

的值域是(4，

16

3

]，故④正确；
故答案为：②④

点评：本题着重考查了函数的奇偶性、单调性及其联系和函数值域的求法等知识，
此题还考查了求参数范围，一般用分离参数法，进而求函数的值域．属于中档题．