题目内容
(本小题满分12分) 设
,求证:
.


见解析。
本试题主要是考察了不等式的证明,可以运用分析法证明,也可以利用综合法来证明。或者同时运用这两种方法来证明。
分析法是寻找结论成立的充分条件,是执果索因,而综合法是从条件推导得到结论,是由因到果,两者是不同的证明题型的运用。
证明:(法一)要证原不等式成立,只须证:
即只须证:
由柯西不等式易知上式显然成立,所以原不等式成立。
(法二)由对称性,不妨设:
,则
,
所以:(顺序和)
(乱序和)
(顺序和)
(乱序和)
将以上两式相加即得:
.
分析法是寻找结论成立的充分条件,是执果索因,而综合法是从条件推导得到结论,是由因到果,两者是不同的证明题型的运用。
证明:(法一)要证原不等式成立,只须证:

即只须证:

由柯西不等式易知上式显然成立,所以原不等式成立。
(法二)由对称性,不妨设:


所以:(顺序和)

(顺序和)

将以上两式相加即得:


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