Question

已知函数f（x）=（x³+ax²+bx+3）•e^cx，其中a、b、c∈R．
（1）当c=1时，若x=0和x=1都是f（x）的极值点，试求f（x）的单调递增区间；
（2）当c=1时，若3a+2b+7=0，且x=1不是f（x）的极值点，求出a和b的值；
（3）当c=0且a²+b=10时，设函数h（x）=f（x）-3在点M（1，h（1））处的切线为l，若l在点M处穿过函数h（x）的图象（即动点在点M附近沿曲线y=h（x）运动，经过点M时，从l的一侧进入另一侧），求函数y=h（x）的表达式．

Answer 1

分析：（1）当c=1时，可得f（x）=x³+ax²+bx+3．由x=0和x=1都是f（x）的极值点，可得

f′(0)=0 f′(1)=0

解出a，b，再验证是否满足取得极值的条件即可；解出f^′（x）＞0即可得到单调递增区间；
（2））由f^′（1）=（3a+2b+7）e=0，而x=1不是函数f（x）的极值点，则x=1必是f^′（x）=0的二重根，通过比较系数即可得出a，b．
（3）利用导数的几何意义可得切线的斜率，进而得到切线方程．由切线l在点M处穿过函数h（x）的图象，可得g（x）只有一个零点x=1，因此函数g（x）具有单调性．从g^′（x）可知具有单调递增，故△=4a²+12（3+2a）≤0，解得a=-3．即可得出b及h（x）．

解答：解：（1）当c=1时，f（x）=（x³+ax²+bx+3）•e^x，∴f^′（x）=[x³+（a+3）x²+（2a+b）x+（b+3）]•e^x．
∵x=0和x=1都是f（x）的极值点，∴

f′(0)=0 f′(1)=0

即

b+3=0 (3a+2b+7)e=0

，解得

a=- 1 3 b=-3

．
∴f′(x)=-

1

3

x(x-1)(3x+11)，经验证可知：x=0或1都是函数f（x）的极值点．
由f^′（x）＞0解得x＜-

11

3

，或0＜x＜1．
∴f（x）的单调递增区间为(-∞，-

11

3

)，（0，1）；
（2）∵f^′（1）=（3a+2b+7）e=0，而x=1不是函数f（x）的极值点，∴x=1必是f^′（x）=0的二重根．
令f^′（x）=（x-1）²（x+d）e^x=[x³+（a+3）x²+（2a+b）x+（b+3）]e^x，比较系数得

d-2=a+3 1-2d=2a+b d=a+3

，解得

a=- 1 5 b= 9 5

，
∴a=-

1

5

，b=

9

5

．
（3）c=0，a²+b=10时，h（x）=f（x）-3=x³+ax²+（10-a²）x，h（1）=11+a-a²．∴切点M（1，11+a-a²）．
∴h^′（x）=3x²+2ax+10-a²．
∴切线的斜率k=h^′（1）=13+2a-a²．
∴切线方程l：y-（11+a-a²）=（13+2a-a²）（x-1），化为y=（13+2a-a²）x-a-2．
令g（x）=h（x）-y=x³+ax²-（3+2a）x+a+2，则g^′（x）=3x²+2ax-（3+2a）．
∵切线l在点M处穿过函数h（x）的图象，
∴g（x）只有一个零点x=1，因此函数g（x）具有单调性，
从g^′（x）可知具有单调递增，∴△=4a²+12（3+2a）≤0，解得a=-3．
∴b=10-9=1．
∴h（x）=x³-3x²+x．

点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值及非极值、切线方程等基础知识，及其等价转化方法、推理能力和计算能力等基本技能与方法．