Question

（2003•朝阳区一模）解不等式

1

log2(x-1)

＜

1

log2 x+1

．

Answer 1

分析：由题意可得

x-1＞0 x-1≠1 x+1＞0 x+1≠1.

，解得x＞1且x≠2．分当1＜x＜2和当x＞2两种情况，分别求得不等式的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：由题意可得

x-1＞0 x-1≠1 x+1＞0 x+1≠1.

，…（2分）
解得：x＞1且x≠2．…（4分）
（1）当1＜x＜2时，有0＜x-1＜1．…（6分）
∴log2(x-1)＜0，log2

x+1

＞0．∴原不等式显然成立，解得1＜x＜2．…（8分）
（2）当x＞2时，有x-1＞1．…（10分）
∴log2(x-1)＞0，log2

x+1

＞0．
∴原不等式变为 log2

x+1

＜log2(x-1)，
即

x＞2 x+1 ＜x-1

，解得 x＞3．…（12分）
∴原不等式解集为{x|1＜x＜2，或x＞3}．…（14分）

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题