题目内容

对于函数f（x）=lg|x-2|+1，有如下三个命题：
①f（x+2）是偶函数；
②f（x）在区间（-∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；
③f（x+2）-f（x）在区间（2，+∞）上是增函数．
其中正确命题的序号是
①，②
①，②
．（将你认为正确的命题序号都填上）
分析：由f（x）=lg|x-2|+1，知f（x+2）=lg|x|+1是偶函数；由f（x）=lg|x-2|+1=
lg(x-2)+1，x＞2
lg(2-x)，x＜2
，知f（x）在区间（-∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；f（x）=lg|x-2|+1，知f（x+2）-f（x）=lg|1+
2
x-2
|在区间（2，+∞）上是减函数．
解答：解：∵f（x）=lg|x-2|+1，
∴f（x+2）=lg|x+2-2|+1=lg|x|+1是偶函数，
故①正确；
∵f（x）=lg|x-2|+1=
lg(x-2)+1，x＞2
lg(2-x)，x＜2
，
∴f（x）在区间（-∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数，
故②正确；
∵f（x）=lg|x-2|+1，
f（x+2）=lg|x+2-2|+1=lg|x|+1，
∴f（x+2）-f（x）=lg|x|-lg|x-2|=lg|
x
x-2
|=lg|1+
2
x-2
|在区间（2，+∞）上是减函数，
故③不正确．
故答案为①，②．
点评：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，注意对数函数的性质的灵活运用．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=lnx-
1
2
ax2+bx（a＞0），且f′（1）=0．
（Ⅰ）试用含有a的式子表示b，并求f（x）的极值；
（Ⅱ）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果在函数图象上存在点M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2）），使得点M处的切线l∥AB，则称AB存在“伴随切线”．特别地，当x0=
x1+x2
2
时，又称AB存在“中值伴随切线”．试问：在函数f（x）的图象上是否存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出A、B的坐标，若不存在，说明理由．
（2013•婺城区模拟）对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的-个“好区间”．给出下列4个函数：
①f（x）=sinx；
②f（x）=|2x-1|；
③f（x）=x3-3x；
④f（x）=lgx+l．
其中存在“好区间”的函数是
②③④
②③④
．  （填入相应函数的序号）
已知函数f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）证明：对任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函数f（x）图象上存在点M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x0=
x1+x2
2
时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．
对于函数f（x）=a x2+（b+1）x+b-2（a≠0），若存在实数 x0，使f（ x0）=x0成立，则称 x0为f（x）的不动点
（1）当a=2，b=-2时，求f（x）的不动点；
（2）若对于任何实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下判断直线L：y=ax+1与圆（x-2）2+（y+2）2=4 a2+4的位置关系．
已知函数（a＞0），且f′（1）=0．
（Ⅰ）试用含有a的式子表示b，并求f（x）的极值；
（Ⅱ）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果在函数图象上存在点M（x，y）（其中x∈（x1，x2）），使得点M处的切线l∥AB，则称AB存在“伴随切线”．特别地，当时，又称AB存在“中值伴随切线”．试问：在函数f（x）的图象上是否存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出A、B的坐标，若不存在，说明理由．

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