题目内容

将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入袋或袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.

(Ⅰ)求小球落入袋中的概率;
(Ⅱ)在容器入口处依次放入4个小球,记为落入袋中小球的个数,试求的概率和的数学期望.
(Ⅰ)(Ⅱ)3
(Ⅰ)解法一:记小球落入袋中的概率,则
由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落,小球将落入袋,所以‘………………………………………………………………… 2分
 .    ……………………………………………………………… 5分
解法二:由于小球每次遇到黑色障碍物时,有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入袋.
 ,             ……………………………… 5分
(Ⅱ)由题意,所以有   ……………………………………………… 7分
 ,            ……………………………………… 10分
 .                             ……………………………… 12分
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