题目内容
2．某学校组织知识测试，设置A、B、C三组测试项目供参赛同学选择．甲、乙、丙三名同学参加比赛，其中甲参加A组测试，甲通过测试的概率为$\frac{1}{3}$；乙参加B组测试，乙通过测试的概率为$\frac{1}{2}$；丙参加C组测试，C组共有6道试题，丙只能答对其中4道题．根据规则，丙只能且必须选择4道题作答，至少答对3道才能通过测试．（Ⅰ）求丙通过测试的概率；
（Ⅱ）记A、B、C三组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．
分析 （Ⅰ）利用古典概型的概率公式，求丙通过测试的概率；
（Ⅱ）确定ξ的取值，求出相应的概率，即可求ξ的分布列和期望．
解答 解：（ I） 设丙通过测试为事件A，则P（A）=$\frac{{C}_{4}^{4}+{C}_{4}^{3}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{4}}$=$\frac{3}{5}$ …（3分）
（Ⅱ）ξ可取值为0，1，2，3，…（4分）
P（ξ=0）$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$=$\frac{4}{30}$，P（ξ=1）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{12}{30}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{11}{30}$，P（ξ=3）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{3}{30}$ …（8分）
则ξ的分布列为
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{4}{30}$ | $\frac{12}{30}$ | $\frac{11}{30}$ | $\frac{3}{30}$ |
所以ξ的期望是Eξ=0×$\frac{4}{30}$+1×$\frac{12}{30}$+2×$\frac{11}{30}$+3×$\frac{3}{30}$=$\frac{43}{30}$．…（12分）
点评 本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，正确求概率是关键．
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17．在一次突击检查中，某质检部门对某超市A、B、C、D，共4个品牌的食用油进行了检测，其中A品牌抽检到2个不合格的批次，另外三个品牌均各抽检到1个批次．
（1）若从这这4个品牌共5个批次的食用油中任选3个批次进行某项检测，求抽取的3个批次的食用油至少有一个是A品牌的概率．
（2）若对这4个品牌共5个批次的食用油进行综合检测，其检测结果如下（综合评估满分为10分）：
若检测的这5个批次食用油得分的平均值为a，从这5个批次中随机抽取2个，记这2个批次食用油中得分超过a的个数为ξ．求ξ的分布列及数学期望．
（1）若从这这4个品牌共5个批次的食用油中任选3个批次进行某项检测，求抽取的3个批次的食用油至少有一个是A品牌的概率．
（2）若对这4个品牌共5个批次的食用油进行综合检测，其检测结果如下（综合评估满分为10分）：
| 品牌 | A1 | A2 | B | C | D |
| 得分 | 8 | 8 | 8.8 | 9.6 | 9.8 |